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平衡二分探索木

概要

Treap という平衡二分探索木とそれを使った順序つき集合 (重複を許す) の実装.

各要素が乱数で決められた数列 $priority[1] ,\ldots, priority[n]$ があったとする.最大の要素 $priority[i]$ を根にし,再帰的に $priority[1],\ldots, priority[i-1]$ から左部分木,$priority[i+1],\ldots,priority[n]$ から右部分木を作って繋げて二分木を作る.するとクイックソートと同じ感じで高さが $O(\log n)$ になる.各頂点の $priority$ は親より子の方が小さくなる.これはまさにヒープ (Heap) であり,Tree と Heap を合わせたデータ構造なので Treap と呼ぶらしい.

平衡二分探索木を使えば列の任意のインデックスに $O(\log n)$ で要素の挿入と削除ができる.広義単調増加を保つ位置に挿入するようにすれば集合が管理できる.それを実装したのが orderd_setstd::set だと機能が足りないときに使う.

計算量

$O(\log N)$

使い方

  • 下の treap は RMQ
  • ordered_set は要素の重複を許す
  • ordered_settreap を継承しているので基本的に treap のメンバ関数も使える
  • nullptr の代わりに NIL を使う
  • 長いので写経がするときは必要な部分だけにする
  • コメントに URL が書かれていない機能は未テスト
treap t
空の Treap を作る
treap t(p)
ノードへのポインタ p を親にする Treap を作る
treap t(l, r)
配列の区間 [l, r) を管理する Treap を作る
t.size()
要素数を取得
t.set(k, x)
k 番目の値に x を代入
t.get(k, x)
k 番目の値を取得
t.range_min(l, r)
[l, r) の最小値を取得
t.merge_from_left(u)
t の列の左に u を繋げる
t.merge_from_right(u)
t の列の右に u を繋げる
t.split_at(k)
[0, k) 番目と [k, n) 番目の木に分ける
t.insert_at(k, x)
k 番目 (0-origin) に x を挿入
t.erase_at(k, x)
k 番目 (0-origin) を削除
front, back, push_front, push_back, pop_front, pop_back
STL と同じ
t.to_string()
Lisp みたいな文字列に変換
ordered_set os
空の順序集合を作る
ordered_set os(p)
ノードへのポインタ p を親にする順序集合を作る
os.split_less(x)
x 未満の要素からなる木と, x 以上の要素からなる木に分ける
os.split_leq(x)
x 以下の要素からなる木と, x より大きい要素からなる木に分ける
os.split_leq(x)
x 以下の要素からなる木と, x より大きい要素からなる木に分ける
os.insert(x)
x を広義単調現象を保つ最初の位置に挿入
os.erase_one(x)
最も左の x を削除.存在しなかった場合にデフォルトでは死ぬ
os.erase_all(x)
x を全て削除.存在しなかった変化がないはず
os.count_less(x)
x 未満の要素の数 i.e. x を挿入できる最小のインデックス i.e. x の順位 - 1 を返す
os.count_leq(x)
x 以下の要素の数 i.e. x を挿入できる最大のインデックスを返す
os.count(x)
x の数を返す
os.includes(x)
x を含むか否かを返す.os.count(x) の約半分の処理時間
os.lower_bound(x)
x 以上の最小の要素を返す
os.upper_bound(x)
x より大きいの最小の要素を返す

実装

#define NDEBUG
using key_type = int;
const key_type INF = 1e9;
const int MAX_N = 500010;  // 挿入の回数 + EPS

struct node {
    key_type key;
    int priority;
    node *left, *right;
    int size;
    key_type min;

    static node *const nil;

    node() : node(key_type()) {}

    node(const key_type &x) : node(x, xor128(), nil, nil, 1, x) {}

    node(const key_type &key_, int priority_, node *left_, node *right_, int size_,
         const key_type &min_)
        : key(key_), priority(priority_), left(left_), right(right_), size(size_), min(min_) {}

    void *operator new(std::size_t) {
        static node pool[MAX_N];
        static int p = 0;
        return pool + p++;
    }

    static int32_t xor128() {
        static uint32_t x = 123456789, y = 362436069, z = 521288629, w = time(0);
        uint32_t t = x ^ (x << 11);
        x = y;
        y = z;
        z = w;
        w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8));
        return w & 0x3FFFFFFF;
    }
};

using np = node *;
using cnp = const node *;
using npair = std::pair<np, np>;

node *const node::nil = new node(key_type(), -1, nullptr, nullptr, 0, INF);

class treap {
protected:
    np root;

public:
    treap() : root(node::nil) {}

    treap(np root_) : root(root_) {}

    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2099535#1
    treap(key_type *left, key_type *right) : root(__make_tree(left, right)) {
        int n = right - left;
        std::vector<int> ps(n);
        std::generate(ps.begin(), ps.end(), node::xor128);
        std::sort(ps.begin(), ps.end());
        std::queue<np> que;
        que.push(root);
        while (que.size()) {
            np n = que.front();
            que.pop();
            if (n == node::nil) continue;
            ps.pop_back();
            n->priority = ps.back();
            que.push(n->left);
            que.push(n->right);
        }
    }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2099535#1
    np __make_tree(key_type *left, key_type *right) {
        int sz = right - left;
        if (sz == 0) return node::nil;
        key_type *mid = left + sz / 2;
        np lc = __make_tree(left, mid);
        np rc = __make_tree(mid + 1, right);
        return new node(*mid, -1, lc, rc, sz, std::min({lc->min, *mid, rc->min}));
    }

public:
    int size() const { return root->size; }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void set(int k, const key_type &x) { __set(root, k, x); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void __set(np n, int k, const key_type &x) {
        if (k < n->left->size)
            __set(n->left, k, x);
        else if (n->left->size == k)
            n->key = x;
        else
            __set(n->right, k - n->left->size - 1, x);
        __update(n);
    }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    key_type get(int k) const { return __get(root, k); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    key_type __get(np n, int k) const {
        if (k < n->left->size)
            return __get(n->left, k);
        else if (n->left->size == k)
            return n->key;
        else
            return __get(n->right, k - n->left->size - 1);
    }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    key_type range_min(int l, int r) { return __range_min(root, l, r); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    key_type __range_min(cnp n, int l, int r) const {
        l = std::max<int>(l, 0);
        r = std::min(r, n->size);
        if (l >= r) return INF;
        if (l == 0 && r == n->size) return n->min;
        key_type res = INF;
        int sl = n->left->size;
        res = std::min(res, __range_min(n->left, l, r));
        res = std::min(res, __range_min(n->right, l - sl - 1, r - sl - 1));
        if (l <= sl && sl < r) res = std::min(res, n->key);
        return res;
    }

public:
    void merge_from_left(treap &t) { root = __merge(t.root, root); }

    void merge_from_right(treap &t) { root = __merge(root, t.root); }

protected:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    np __merge(np l, np r) const {
        if (l == node::nil) return r;
        if (r == node::nil) return l;
        if (l->priority > r->priority) {
            l->right = __merge(l->right, r);
            return __update(l);
        } else {
            r->left = __merge(l, r->left);
            return __update(r);
        }
    }

public:
    // http://codeforces.com/contest/830/submission/28560572
    std::pair<treap, treap> split_min() {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_min(root, root->min);
        return std::make_pair(treap(l), treap(r));
    }

protected:
    // http://codeforces.com/contest/830/submission/28560572
    npair __split_min(np n, const key_type &min) const {
        if (n == node::nil) return {node::nil, node::nil};
        if (n->left->min == min || n->key == min) {
            npair p = __split_min(n->left, min);
            n->left = p.second;
            return npair(p.first, __update(n));
        } else {
            npair p = __split_min(n->right, min);
            n->right = p.first;
            return npair(__update(n), p.second);
        }
    }

public:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    std::pair<treap, treap> split_at(int k) {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_at(root, k);
        return std::make_pair(treap(l), treap(r));
    }

protected:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    npair __split_at(np n, int k) const {
        if (n == node::nil) return {node::nil, node::nil};
        if (k <= n->left->size) {
            npair p = __split_at(n->left, k);
            n->left = p.second;
            return npair(p.first, __update(n));
        } else {
            npair p = __split_at(n->right, k - n->left->size - 1);
            n->right = p.first;
            return npair(__update(n), p.second);
        }
    }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void insert_at(const key_type &x, int k) { root = __insert_at(root, x, k); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    np __insert_at(np n, const key_type &x, int k) const {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_at(n, k);
        return __merge(__merge(l, new node(x)), r);
    }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void erase_at(int k) { root = __erase_at(root, k); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    np __erase_at(np n, int k) const {
        np l, r, m;
        std::tie(l, r) = __split_at(n, k);
        std::tie(m, r) = __split_at(r, 1);
        return __merge(l, r);
    }

public:
    const key_type &front() const {
        assert(root != node::nil);
        return __front(root)->key;
    }

protected:
    cnp __front(cnp n) const { return n->left != node::nil ? __front(n->left) : n; }

public:
    const key_type &back() const {
        assert(root != node::nil);
        return __back(root)->key;
    }

protected:
    cnp __back(cnp n) const { return n->right != node::nil ? __back(n->right) : n; }

public:
    key_type front() {
        assert(root != node::nil);
        return __front(root)->key;
    }

protected:
    np __front(np n) const { return n->left != node::nil ? __front(n->left) : n; }

public:
    key_type back() {
        assert(root != node::nil);
        return __back(root)->key;
    }

protected:
    np __back(np n) const { return n->right != node::nil ? __back(n->right) : n; }

public:
    void push_front(const key_type &x) {
        root = __merge(new node(x, node::xor128(), node::nil, node::nil, 1, x), root);
    }

    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void push_back(const key_type &x) {
        root = __merge(root, new node(x, node::xor128(), node::nil, node::nil, 1, x));
    }

    void pop_front() {
        assert(root->size != 0);
        root = __split_at(root, 1).second;
    }

    void pop_back() {
        assert(root->size != 0);
        root = __split_at(root, root->size - 1).first;
    }

protected:
    np __update(np n) const {
        n->size = 1 + n->left->size + n->right->size;
        n->min = std::min({n->left->min, n->key, n->right->min});
        return n;
    }

public:
    std::string to_string() const {
        std::string res;
        __to_string(root, res);
        return res;
    }

protected:
    void __to_string(cnp n, std::string &res) const {
        if (n != node::nil) {
            res += "(";
            __to_string(n->left, res);
            res += ")" + std::to_string(n->key) + "(";
            __to_string(n->right, res);
            res += ")";
        }
    }
};

class ordered_set : public treap {
public:
    ordered_set() : treap() {}
    ordered_set(node *n) : treap(n) {}

public:
    std::pair<ordered_set, ordered_set> split_at(int k) {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_at(root, k);
        return std::make_pair(ordered_set(l), ordered_set(r));
    }

public:
    std::pair<ordered_set, ordered_set> split_less(const key_type &x) {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_less(root, x);
        return std::make_pair(ordered_set(l), ordered_set(r));
    }

protected:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    npair __split_less(np n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil) return npair(node::nil, node::nil);
        if (n->key < x) {
            npair p = __split_less(n->right, x);
            n->right = p.first;
            return npair(__update(n), p.second);
        } else {
            npair p = __split_less(n->left, x);
            n->left = p.second;
            return npair(p.first, __update(n));
        }
    }

public:
    std::pair<ordered_set, ordered_set> split_leq(const key_type &x) {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_leq(root, x);
        return std::make_pair(ordered_set(l), ordered_set(r));
    }

protected:
    npair __split_leq(np n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil) return npair(node::nil, node::nil);
        if (n->key <= x) {
            npair p = __split_leq(n->right, x);
            n->right = p.first;
            return npair(__update(n), p.second);
        } else {
            npair p = __split_leq(n->left, x);
            n->left = p.second;
            return npair(p.first, __update(n));
        }
    }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    void insert(const key_type &x) { root = __insert(root, x); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    np __insert(np n, const key_type &x) const {
        np l, r;
        std::tie(l, r) = __split_less(n, x);
        return __merge(__merge(l, new node(x)), r);
    }

public:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    void erase_one(const key_type &x) {
        assert(includes(x));
        root = __erase_one(root, x);
    }

protected:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    np __erase_one(np n, const key_type &x) const {
        np l, m, r;
        std::tie(l, r) = __split_less(n, x);
        std::tie(m, r) = __split_at(r, 1);
        return __merge(l, r);
    }

public:
    void erase_all(const key_type &x) { root = __erase_one(root, x); }

protected:
    np __erase_all(np n, const key_type &x) const {
        np l, m, r;
        std::tie(l, r) = __split_less(n, x);
        std::tie(m, r) = __split_leq(r, x);
        return __merge(l, r);
    }

public:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    int count_less(const key_type &x) const { return __count_less(root, x); }

protected:
    // yukicoder 449 http://yukicoder.me/submissions/131855
    int __count_less(cnp n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil)
            return 0;
        else if (n->key < x)
            return n->left->size + 1 + __count_less(n->right, x);
        else
            return __count_less(n->left, x);
    }

public:
    int count_leq(const key_type &x) const { return __count_leq(root, x); }

protected:
    int __count_leq(cnp n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil)
            return 0;
        else if (n->key <= x)
            return n->left->size + 1 + __count_leq(n->right, x);
        else
            return __count_leq(n->left, x);
    }

public:
    int count(const key_type &x) const { return count_leq(x) - count_less(x); }

public:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    bool includes(const key_type &x) const { return __includes(root, x); }

protected:
    // AOJ 1508 http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/review.jsp?rid=2083288
    bool __includes(np n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil)
            return false;
        else if (n->key < x)
            return __includes(n->right, x);
        else if (n->key == x)
            return true;
        else
            return __includes(n->left, x);
    }

public:
    key_type lower_bound(const key_type &x) const { return __lower_bound(root, x)->key; }

protected:
    np __lower_bound(np n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil)
            return node::nil;
        else if (n->key <= x) {
            np res = __lower_bound(n->left, x);
            return res != node::nil ? res : n;
        } else
            return __lower_bound(n->right, x);
    }

public:
    key_type upper_bound(const key_type &x) const { return __upper_bound(root, x)->key; }

protected:
    np __upper_bound(np n, const key_type &x) const {
        if (n == node::nil)
            return node::nil;
        else if (n->key < x) {
            np res = __upper_bound(n->left, x);
            return res != node::nil ? res : n;
        } else
            return __upper_bound(n->right, x);
    }
};

参考文献

プログラミングコンテストでのデータ構造 2 ~平衡二分探索木編~ - Takuya Akiba http://www.slideshare.net/iwiwi/2-12188757

検証